Занятие курса по выбору по математике в 10 «Б» классе
Физико-математический профиль

Морозов Владимир Владимирович,
учитель математики и информатики
НОУ частной школы "Ступени", Москва.

 План занятия

1.      Информационный ввод – 2 мин.

2.      Актуализация ЗУН. – 3 мин.

3.      Исследовательская работа в группах. – 15 мин.

4.      Психофизиологическая пауза. – 1 мин.

5.      Решение задач с параметром. – 12 мин.

6.      Решение задач с параметром с помощью компьютера. – 5 мин.

7.      Итог занятия – 2 мин.

Ход занятия

1.      Информационный ввод – 2 мин.

Учитель сообщает тему занятия, цель.

-    На предыдущем занятии мы с вами научились использовать теорему Виета для решения задач с параметрами. Сегодня мы посвятим наше занятие исследованию расположения корней квадратного уравнения в задачах с параметрами. Итак, тема нашего занятия – «Теоремы о корнях квадратного уравнения».

2.      Актуализация ЗУН. – 3 мин.

-    Сначала повторим необходимые для нас сведения о квадратных уравнениях.

На мониторах запись f(x)=Ax²+Bx+C.

-   Какую информацию о графике функции f(x) можно получить, зная коэффициенты квадратного трёхчлена?

Дети отвечают, что

i.       если старший коэффициент квадратного трёхчлена больше нуля, то ветви параболы направлены вверх,

ii.       если старший коэффициент квадратного трёхчлена меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз,

iii.       если старший коэффициент квадратного трёхчлена равен нулю, то графиком функции является не парабола, а прямая; и соответствующее уравнение надо решать не как квадратное, а как линейное,

iv.       если дискриминант больше нуля, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках,

v.       если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс,

vi.       если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось абсцисс,

vii.       абсцисса вершины параболы равна .

3.      Исследовательская работа в группах. – 15 мин.

-    Особую роль среди уравнений с параметрами играют задачи, связанные с расположением корней квадратного уравнения. Для решения таких задач можно сформулировать теоремы, но, количество таких теорем практически необозримо. Нам остается только одно – научиться придумывать теорему каждый раз, в каждой конкретной задаче.

- Для придумывания таких теорем нужно не только знание свойств квадратного уравнения, которые мы с вами только что повторили, но и умение мыслить одновременно на двух языках – алгебраическом и геометрическом.

-  На доске сформулированы задачи в общем виде:

-   Работают три группы. Задание каждой группе: составьте теорему для вашей задачи. Поможет вам в этом презентация Power Point.

Каждая группа запускает свою презентацию, составляют свою теорему. (zip-архив презентаций)

- Какая группа готова сформулировать свою теорему?

Представители каждой группы выходят к доске, записывают свою систему неравенств и формулируют теорему.

-  Вопрос каждому представителю групп: Обоснуйте свой ответ.

-  Объясните, почему ни одно из неравенств нельзя удалить из вашей системы.

Учащиеся приводят противоречащие примеры.

Обсуждая третью теорему, учащиеся замечают, что требование D>0 вовсе необязательно.

-  Итак, вы научились формулировать теоремы о корнях квадратного уравнения и обосновывать эти теоремы.

4.      Психофизиологическая пауза. – 1 мин.

Учащимся предложены упражнения для коррекции осанки и упражнения гимнастики для глаз.

5.      Решение задач с параметром. – 13 мин.

-  Предлагаю вам ряд задач с параметрами. (См. Приложение 3).

-  Определите, каким методом решать каждую из предлагаемых задач с параметрами. Проверить своё решение вы можете, открыв презентацию с решением вашей задачи (см. Приложение 2.) или с помощью программы GrafEQ.

Учащиеся решают задачи.

6.      Решение задач с параметром с помощью компьютера. – 5 мин.

-  Составьте собственные задачи с параметром, которые решаются с помощью составленных вами сегодня теорем.

-  Запишите эти уравнения в тетрадь и решите их с помощью программы GrafEQ.

7.      Итог занятия – 2 мин.

-  Итак, сегодня мы научились получать геометрическую интерпретацию задачи с параметром, с помощью этого чертежа составлять подходящую систему неравенств для решения данной задачи.

-  В качестве домашнего задания составьте задачи с параметром, которые решаются с помощью составленных вами сегодня теорем, и решите эти задачи аналитически.

 Приложение 1.

Презентация для исследовательской работы группах 1-3

(См. презентации в архиве)

Приложение 2.

Содержание презентаций для самопроверки и самокоррекции

1.                  При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения

х² + (а + 1)х + 3 = 0 лежат по разные стороны от числа 2?

Решение. Рассмотрим функцию f(x)= х² + (а + 1)х + 3.

f(2)<0;

f(2)=4+2a+2+3=2a+9<0

2a<-9

a<–4.5

Ответ. aÎ(–¥;–4.5).

2.                  При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения

(2–a)x²-3ax+2a=0 больше ½.

Решение. Рассмотрим функцию f(x)= (2–a)x²-3ax+2a.

Решений нет.

Ответ. Решений нет.

3.                  Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения x²-6ax+(2-2a+9a²)=0 больше 3.

Решение. Рассмотрим функцию f(x)= x²-6ax+(2-2a+9a²)=0.

4. Найти все значения параметра а, которых оба корня квадратного уравнения x²+4ax+(1-2a+4a²)=0 меньше –1.

Решение. Рассмотрим функцию f(x)= x²+4ax+(1-2a+4a²).

5.                  При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения

(1+a)x²–3ax+4a=0 меньше 1.

Решение. Рассмотрим функцию f(x)= (1+a)x²–3ax+4a=0.

Решений нет.

Ответ. Решений нет.

6.   Найти все значения параметра а, при которых число 3 лежит между корнями квадратного уравнения x²+ax–1=0.

Решение. Рассмотрим функцию f(x)= x²+ax–1.

f(3)<0;

9+3a–1=8+3a<0

3a<–8

a<.

Ответ. a< -8/3.

Приложение 3.

Задачи с параметром для самостоятельной работы

Решите следующие задачи с параметром.

1.   При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения

х² + (а + 1)х + 3 = 0 лежат по разные стороны от числа 2?

2.  При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения

(2–a)x²-3ax+2a=0 больше ½.

3.   Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения x²-6ax+(2-2a+9a²)=0 больше 3.

4.  Найти все значения параметра а, которых оба корня квадратного уравнения x²+4ax+(1-2a+4a²)=0 меньше –1.

5.  При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения (1+a)x²–3ax+4a=0 меньше 1.

6.  Найти все значения параметра а, при которых число 3 лежит между корнями квадратного уравнения x²+ax–1=0.

Самоанализ занятия

Тема занятия: Теоремы о корнях квадратного уравнения.

В данном курсе учащиеся знакомятся с приёмами и методами решения задач с параметрами, готовятся к экзаменам в высшие учебные заведения.

На предыдущих занятиях учащиеся рассматривали задачи с параметрами, в которых применялась теорема Виета, знакомились с применением программы канадских математиков GrafEq для построения графиков уравнений, применяли эту компьютерную программу для решения задач с параметром.

Особую роль среди уравнений с параметрами играют задачи, связанные с расположением корней квадратного уравнения. Для решения таких задач можно сформулировать теоремы, но, количество таких теорем практически необозримо. Нам остается только одно – научить учащихся придумывать теорему каждый раз, в каждой конкретной задаче.

Для придумывания таких теорем нужно не только знание свойств квадратного уравнения, но и умение мыслить одновременно на двух языках – алгебраическом и геометрическом.

На этом занятии учащимся предстояло научиться составлять такие теоремы.

После этого занятия последуют занятия, посвящённые решению других задач о корнях квадратного уравнения с параметрами, учащиеся будут самостоятельно получать нужную теорему для решения конкретной задачи с параметрами.

На занятии решались следующие задачи:

–   учебные задачи:

Научить учащихся самостоятельно формулировать теоремы о корнях квадратного уравнения.

Научить применять полученные теоремы для решения задач с параметрами.

Научить проверять решение задач с параметром с помощью компьютера графическим методом.

–   развивающая задача: развивать творческую сторону мышления; учить осуществлять исследовательскую деятельность;

–   воспитательная задача: формировать навыки умственного труда – поиск рациональных путей решения.

Структура занятия была такова.

В начале занятия была проведена актуализация знаний, умений и навыков, учащиеся повторили, какую информацию о графике функции f(x) можно получить, зная коэффициенты квадратного трёхчлена.

Далее последовала исследовательская работа в группах. Работали три группы. Каждой группе было дано задание для данной задачи в общем виде сформулировать теорему о корнях квадратного уравнения. На этом этапе были использованы компьютеры, презентации помогали учащимся сделать правильный вывод. Подчеркнём: готового ответа в презентациях не было.

По мере выполнения творческого задания представители групп выходили к доске, записывали соответствующую систему для своей задачи и формулировали теорему. При этом всякий раз создавалась проблемная ситуация: учащимся нужно было не только показать, что полученная система обеспечивает выполнение условия данной задачи, но и что каждое неравенство системы нельзя выбросить, приводили для этого контр-примеры.

Во время этой работы создалась ситуация, когда учащиеся увидели, что всё же одно неравенство из теоремы 3 можно убрать.

Таким образом, учащиеся учились из условия задачи строить её геометрическую интерпретацию, а из последней получать соответствующую систему неравенств, нужную теорему, учились анализировать её, подвергать сомнению или убеждаться в её истинности.

Полученные учащимися теорему нельзя было не закрепить на конкретных задачах с параметрами, поэтому после этого учащимся был предложен ряд задач с параметром на применение полученных ими теорем. Учащиеся сами выбирали задачи для себя, определяли нужный метод решения.

На этом этапе также были использованы компьютеры для самопроверки: решение каждой задачи учащиеся могли посмотреть для самопроверки или в случае затруднений. Кроме того, можно было проверить решение и с помощью программы GrafEQ, решая задачу графическим методом.

Затем учащимся было предложено придумать задачу с параметром и решить её с помощью программы GrafEQ, решая задачу графическим методом. Это не только показало учащимся, что с помощью персонального компьютера можно проверить решение задачи с параметром или подобрать его решение, но дети имели возможность почувствовать, как при изменении параметра меняется характер и свойства функции.

Занятие было построено таким образом, что дети самостоятельно делали все выводы, проводили исследование. В основном использовался проблемный метод, когда ученики разрешали проблемные ситуации. Тем самым у ребят развивалась творческая сторона мышления.

Какими же методами, средствами решалась каждая задача занятия?

Учебная задача: Научить учащихся самостоятельно формулировать теоремы о корнях квадратного уравнения. Эта задача решалась посредством создания проблемной ситуации, применялись заранее приготовленные презентации Power Point.

Развивающая задача: развивать творческую сторону мышления, учить осуществлять исследовательскую деятельность решалась отчасти при работе в группах и при работе с программой GrafEQ.

Воспитательная задача: формировать навыки умственного труда – поиск рациональных путей решения. Эта задача решалась на протяжении всего занятия.

Зачем использовался компьютер на этом занятии?

Компьютер на протяжении всего занятия использовался как мультимедийный инструмент наглядности на этапе задания исследовательского характера, на этапе решения для самокоррекции и самопроверки, для решения задачи с параметром графическим способом. Можно ли было обойтись без компьютера при исследовательской работе в группах? Да, но тогда затраты времени на эту работу увеличились бы примерно втрое, эффективность занятия снизилась бы. Можно ли было обойтись без компьютеров на этапе самоконтроля? Да, но учителю пришлось бы метаться между учащимися, или использовать бумажные носители для самоконтроля. Поэтому использование презентации для самоконтроля в классе физико-математического профиля было вполне оправдано.

Кроме того, компьютер использовался на занятии для повышения интереса к этим занятиям. Не секрет, что современные школьники чрезвычайно интересуются новыми информационными технологиями.

На мой взгляд, на занятии прослеживался личностно-ориентированный подход, так как в ходе организации учебного занятия чётко проявились такие принципы построения образовательного процесса, как принцип индивидуальности, принцип самоактуализации, принцип выбора (учащиеся выбирали себе задания по душе), принцип творчества и успеха, принцип веры, доверия и поддержки.

План занятия был выполнен, задачи занятия решены. К такому выводу пришли сами дети. В том числе, это показала рефлексия. На занятии были соблюдены основные психологические и гигиенические требования.

Деятельность учащихся я оцениваю следующим образом: на занятии чётко проявился интерес к предмету, эмоциональное состояние учащихся было приподнятым. На занятии присутствовали самоконтроль и самокоррекция со стороны ребят. Была высока степень самостоятельности в учебной деятельности. Внешний вид и организованность ребят способствовали успешному достижению цели занятия.

Занятие удалось, так как были созданы условия для максимального влияния образовательного процесса на развитие индивидуальности ученика.