Морозов Владимир Владимирович,
учитель математики и информатики
НОУ частной школы "Ступени",
Москва.

Важная задача учителя – научить учащихся думать, делать открытия. Именно поэтому исследовательская деятельность учащихся является одной из самых удачных форм внеклассной работы с учащимися по предмету.

При организации исследовательской деятельности по математике можно использовать и информационные технологии. На мой взгляд, наиболее сложная проблема, которую приходится решать учителю при организации исследовательской деятельности в школе – находить интересные, перспективные темы для исследования, то есть темы, обещающие интересные результаты. Мечта для учителя – чтобы ученик сам нашёл перспективную тему для своего исследования. Но даже для учителя это бывает трудно – очень часто оказывается, что полученный результат уже давно известен. Но и в этом случае красивая теорема не теряет своей красоты, особенно если она сформулирована и доказана учеником самостоятельно.

Описанное ниже исследование в этой области явилось результатом совместного творчества учителей и ребят, увлекающихся математикой и программированием. Коллективная работа над этой проблемой показала креативные возможности соединения математики и программирования в целостную творческую исследовательскую деятельность.

Результаты этой работы мы опубликовали в Internet:http://polysaevoschool17.narod.ru/kopilka.htm. Убеждены в плодотворности и перспективности этих занятий, ибо именно на стыке наук рождаются открытия!

Предлагаемая ниже работа может послужить примером для учителей и детей, занимающихся исследовательской деятельностью по математике.

В первой координатной четверти рассмотрим семейство прямых вида x/a+y/b=1, где a+b=1; a пробегает интервал (0;1).

На рисунке 1 построены прямые этого семейства, где a пробегает интервал (0;1) с некоторым шагом h. Если шаг h сделать достаточно малым, то замечаем, что все прямые этого семейства касаются некоторой кривой линии (рис. 2).

Открываем математическую энциклопедию: “Огибающая семейства линий на плоскости – линия, которая в каждой своей точке касается одной линии семейства”.

Что за кривая линия является огибающей нашего семейства прямых? Пытаясь отыскать ответ на этот вопрос, ученицы 10 класса Кукина Алёна и Адамук Анна выяснили, что огибающая семейства прямых x=0; y=0; x/a+y/b=1, где a+b=const, a и b отличны от нуля, является параболой, ось которой лежит на биссектрисе первой координатной четверти. Более того, им удалось получить некоторые интересные свойства других конических сечений.

Рассмотрим параболу – график функции y=ax², где a>0. Из каких точек плоскости можно провести две различные касательные к параболе? Очевидно, что из точки M₀ можно провести две различных касательных к параболе если и только если эта точка лежит ниже параболы, то есть координаты точки M₀(x₀;y₀) удовлетворяют условию y₀<ax₀².

Выберем произвольную точку M₀(x₀;y₀) плоскости, удовлетворяющую этому условию. Проведём через неё две прямые, касающиеся параболы в точках М₁(x₀₁;y₀₁) и М₂(x₀₂;y₀₂) (рис. 3).

Выберем на параболе произвольную точку P между M₁ и M₂. Проведём через неё касательную к параболе. Пусть эта касательная пересекает касательные M₀M₁ и M₀M₂ соответственно в точках B₁ и B₂ (рис. 4).

Утверждение 1. При выполнении описанных выше условий имеет место следующее равенство:

Сначала докажем лемму о пересечении двух касательных к параболе.

Лемма. Пусть две прямые, касающиеся параболы y=ax² в различных точках A(x_a;y_a) и B(x_b;y_b), пересекаются в точке C(x_c;y_c). Тогда

Доказательство леммы. Уравнение касательной к параболе y=ax² в точке А имеет вид y=2ax_ax–ax_a², а в точке B имеет вид y=2a_abx–ax_b². Для поиска координат точки пересечения касательных решаем систему

Лемма доказана.

Доказательство утверждения 1. Пусть прямые, касающиеся параболы в точках М₁(x₀₁;y₀₁) и М₂(x₀₂;y₀₂) пересекаются в точке M₀(x₀;y₀). Тогда по доказанной выше лемме координаты этих трёх точек связаны соотношениями

Найдём квадраты расстояний от М₀ до М₁ и до М₂.

Через произвольную точку P(p,ap²) на параболе y=ax² между точками M₁ и M₂ проведём касательную, которая пересекает касательные M₀M₁ и M₀M₂ соответственно в точках B₁ и B₂ (рис. 4). По доказанной выше лемме получаем координаты точек B₁ и B₂.

Утверждение 1 доказано.

Верно и обратное утверждение. Пусть прямые, касающиеся параболы y=ax²в точках M₁и M₂ пересекаются в точке M₀. Пусть на отрезках M₀M₁ и M₀M₂ выбраны точки B₁ и B₂ соответственно так, что

Тогда прямая B₁B₂ касается этой параболы.

Действительно, если допустить противное, то на параболе между точками M₁ и M₂ существует точка P, в которой касательная параллельна B₁B₂. Пусть эта касательная пересекает касательные M₀M₁ и M₀M₂ соответственно в точках С₁ и С₂. Тогда по утверждению 1

Причём, в силу подобия треугольников M₀B₁B₂ и M₀С₁С₂ либо одновременно

Полученное противоречие доказывает обратное утверждение.

Замечание. Нетрудно видеть, что в утверждении 1 можно позволить точке P быть на параболе не только между точками M₁ и M₂. В этом случае одно из слагаемых соотношения

изменит знак.

Следствие 1. Если точка М₀ лежит на оси ординат, то M₀B₁+M₀B₂=M₀M₁=const (рис. 5).

Иными словами, если M₀M₁=M₀M₂, то M₀B₁+M₀B₂=M₀M₁=const.

Вернёмся к нашему первому примеру. Если в первую координатную четверть вписана парабола, касающаяся осей ОХ и ОY в точках (c;0) и (0;c), c>0, и если прямая x/a+y/b=1 касается параболы, то согласно утверждению 1 имеем: a/c+b/c=1; a+b=c. Таким образом, мы получили…

Следствие 2. Огибающей семейства прямых x/a+y/b=1, где a+b=const является парабола.

Следствие 3. Пусть прямые, касающиеся параболы в точках M₁ и M₂ пересекаются в точке M₀. Тогда средняя линия треугольника M₁M₂M₀, параллельная M₁M₂, касается параболы (рис. 6).

Действительно, пусть B₁B₂ – средняя линия треугольника M₁M₂M₀. Тогда

Следовательно, B₁B₂ касается параболы.

Далее, нетрудно убедиться, что уравнение прямой B₁B₂ имеет вид y=2ax₀x–ax₀². Найдём координаты точки касания прямой B₁B₂ и параболы, решая систему

Разумеется, последнее уравнение имеет единственное решение, а поэтому абсцисса точки касания Р (см. рис. 6) та же, что и у точки М₀, а поэтому прямая М₀Р всегда параллельна оси ординат.

Теперь легко получаем координаты не только точек B₁ и B₂, но и точки касания Р:

Нетрудно убедиться, что абсцисса точки Р равна среднему арифметическому абсцисс точек B₁ и B₂. Убедимся также, что ордината точки Р равна среднему арифметическому ординат точек B₁ и B₂. Действительно, используя лемму, получаем.

Таким образом, мы получили…

Следствие 4. Пусть прямые, касающиеся параболы в точках M₁ и M₂ пересекаются в точке M₀. Тогда средняя линия B₁B₂ треугольника M₁M₂M₀, параллельная M₁M₂, касается параболы в точке P – середине средней линии B₁B₂, причём прямая М₀Р является медианой треугольника M₁M₂M₀ и параллельна оси ординат (рис. 7).

Следствие 5. В данный неразвёрнутый угол можно вписать единственную параболу, касающуюся сторон угла в двух данных (отличных от вершины) точках.

Действительно, пусть дан угол с вершиной М₀ и точки M₁ и M₂ на сторонах угла. У треугольника M₁M₂M₀ построим среднюю линию и отметим её середину Р. Для треугольников M₁B₁P и M₂B₂P проделаем то же самое. Этот процесс продолжаем бесконечно. К семейству полученных средних линий добавим ещё пару сторон данного угла. Это семейство – семейство огибающих дуги параболы, касающейся сторон угла в двух данных точках. Единственность параболы вытекает из известного утверждения, что через три точки плоскости, не лежащие на одной прямой проходит единственная парабола. Заодно мы получили интересный способ построения параболы.

Итак, мы рассмотрели свойство касательных к параболе и получили семейство прямых, огибающей которых является парабола. Возникает вопрос: можно ли доказать похожие свойства для других конических сечений: гиперболы, эллипса, окружности?

В первой координатной четверти рассмотрим гиперболу y=1/x. Построим касательную к гиперболе в некоторой точке (x₀;y₀) и найдём длины отрезков, отсекаемых касательной от осей координат (рис. 8).

Уравнение касательной к гиперболе y=1/x имеет вид

Тогда длины отрезков, отсекаемых касательной от асимптот гиперболы равны 2/x₀ и2x₀. Замечаем, что произведение длин этих отрезков не зависит от выбора точки касания:

Таким образом, огибающей семейства прямых x/a+y/b=1, где ab=4, a>0 является гипербола, уравнение которой y=1/x.

Можно получить общий результат о касательных к гиперболе.

Утверждение 2. Касательная к гиперболе в произвольной точке отсекает от асимптот отрезки, произведение которых постоянно и не зависит от выбора точки касания.

Доказательство. Рассмотрим гиперболу

Асимптоты этой гиперболы – прямые

Получим уравнение верхней ветви гиперболы:

Найдём уравнение касательной к верхней ветви гиперболы.

Уравнение касательной имеет вид

Найдём координаты абсциссы точек пересечения касательной к гиперболе и её асимптотами (рис. 9).

Так как a>0, то

Координаты точки M₁(x₁;y₁) пересечения касательной к гиперболе и асимптоты:

Точно также получаем координаты точки M₂.

Тогда

И, наконец, получаем:

Утверждение 2 доказано.

Таким образом, для гиперболы площадь треугольника, ограниченного асимптотами и касательной постоянна.

Для окружности аналогичное свойство получить и вовсе просто. Из точки М проведём пару прямых, касающихся окружности в точках А и В, которые разбивают окружность на две дуги. На меньшей из этих дуг выберем произвольную точку Е и проведём через неё касательную, которая пересекает касательные МА и МВ в точках С и D соответственно (рис. 10).

Утверждение 3. Периметр треугольника MCD постоянен и не зависит от выбора точки касания Е.

Действительно, легко видеть, что СА=CE, DB=DE, поэтому периметр треугольника MCD равен

P_MCD=MC+CE+ED+DM=MC+CA+BD+DM=AM+BM=2AM=const.

Утверждение доказано.

Касательные к эллипсу, другому коническому сечению, также обладают интересным свойством. Вырежем из бумаги большой круг и в любом его месте, поставим точку. Сложим круг так, чтобы эта точка оказалась под любой точкой окружности на краю диска. Разогнём листок и снова согнём, прикрыв точку уже другим местом на окружности. Сделаем так несколько раз, пока вся бумага не покроется сгибами, которые образуют семейство касательных к эллипсу (рис 11).

Утверждение 4. Каждая линия сгиба при описанной выше процедуре касается эллипса с фокусами в выбранной точке Р и центре окружности О.

Доказательство. Пусть точка P – любая точка круга, не являющаяся его центром О (рис. 12). Мы сгибаем круг так, чтобы совместить точку P с какой-нибудь точкой окружности S. При этом линией сгиба должна быть прямая DB, которая перпендикулярна PS и делит отрезок PS пополам. Отсюда следует, что BS и BP равны, а поэтому ОB+BP=ОB+ВS постоянно и равно радиусу окружности. Отрезок ОB+BS представляет собой сумму расстояний от точки B до фиксированных точек P и О, поэтому геометрическим местом точек B (движущихся при перемещении точки S по окружности) является эллипс с фокусами в точках P и О.

Линия сгиба DC является касательной к эллипсу в точке B, потому что она образует равные углы с прямыми, проведенными из фокусов в точку B, поскольку угол PBC равен углу SBC, который в свою очередь равен углу OBD. Линии сгиба всегда касаются эллипса, поэтому эллипс является огибающей семейства линий сгиба. Утверждение доказано.

Нетрудно убедиться, что большая ось полученного таким способом эллипса равна радиусу данной окружности.

Утверждение 5. Точка пересечения высот остроугольного треугольника является фокусом вписанного в этот треугольник эллипса.

Лемма. Точки, симметричные точке пересечения высот треугольника  относительно его сторон, лежат на описанной около этого треугольника окружности (рис. 13).

Доказательство леммы. Пусть A₁, B₁ и C₁ – точки, симметричные точке пересечения высот треугольника  H относительно сторон BC, CA и AB соответственно. Так как AB перпендикулярно CH и BC перпендикулярно AH, то углы межу прямыми AB и BC и угол между прямыми CH и HA равны. Угол ABC равен углу C₁HA, а так как треугольник AC₁H равнобедренный, то угол C₁HA равен углу AC₁C. Следовательно,  угол ABC равен углу AC₁C, опираются эти углы на одну и туже дугу АС. Значит, точка C₁ лежит на описанной окружности треугольника ABC. Аналогично доказывается, что точки A₁ и B₁ лежат на этой окружности. Лемма доказана.

Следствие. Образы окружности при осевой симметрии относительно сторон вписанного в эту окружность треугольника пересекаются в точке пересечения высот треугольника.

Иными словами, если перегнуть круг по сторонам вписанного треугольника, то все три получившиеся дуги пересекаются в одной точке – точке пересечения высот треугольника.

Теперь докажем утверждение 5.

Пусть дан эллипс, обозначим его фокусы О и F. Строим окружность с центром в одном из его фокусов О радиусом, равным его большой полуоси. Таким образом, эта окружность обладает следующим свойством: если перегнуть полученный таким образом круг по касательной к эллипсу, то точка окружности попадает на фокус F.

Из любой точки A на окружности строим 2 касательных к эллипсу. По построению при перегибе круга по этим касательным точки на окружности попадает на фокус F. Эти касательные пересекают окружность в двух других точках B и C, однозначно определяя треугольник ABC, вписанный в окружность (рис. 14).

Как доказано выше, точка F пересечения высот этого треугольника также переходит на окружность.

Но эта же точка F – переходит на окружность при симметрии относительно третьей стороны. Следовательно, третья сторона треугольника – касается эллипса.

Таким образом, точка пересечения высот треугольника является фокусом некоторого вписанного в этот треугольник эллипса. Утверждение доказано.

Теорема Эйлера. Во всяком треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот (или их продолжений) и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника лежат на одной прямой, которая называется прямой Эйлера.

Таким образом, прямая Эйлера остроугольного треугольника является осью симметрии вписанного в этот треугольник эллипса, и точка пересечения медиан треугольника также лежит на оси вписанного в треугольник эллипса.

Кстати, известно, что радиус окружности Эйлера (она известна ещё как окружность 9 точек) равен половине радиуса описанной окружности, а центр окружности Эйлера является серединой отрезка, соединяющего ортоцентр с центром описанной окружности. Таким образом, центр нашего эллипса (середина отрезка между фокусами) является центром окружности Эйлера, в которую вписан эллипс.

Во всех полученных утверждениях усматривается нечто общее:

• для параболы постоянна сумма боковых сторон треугольника, ограниченного тремя касательными, две из которых проведены из точки на оси параболы (рис. 5);
• для гиперболы постоянна площадь треугольника, ограниченного асимптотами и касательной (рис. 9);
• у окружности постоянен периметр треугольника, ограниченного касательными (рис. 10);
• эллипс является огибающей семейства треугольников, вписанных в одну и ту же окружность с центром в одном фокусе эллипса, а точки пересечения высот каждого из этих треугольников – второй фокус эллипса, центр этого эллипса – центр окружности Эйлера каждого из этих треугольников; у каждого из этих треугольников одни и те же прямая Эйлера и окружность Эйлера (рис. 14).

В качестве иллюстрации описанных здесь явлений мы предоставляем читателю возможность скачать программы и их исходные коды.

1. http://guopolysaevo.narod.ru/arc/cone0.files/ogib.zip. zip-архив dos-программы, которая демонстрирует факт, что парабола является огибающей семейства прямых. Рисунки 1 и 2 построены этой программой (14 Кб).

2. http://guopolysaevo.narod.ru/arc/cone0.files/ogibp.zip. zip-архив исходного кода предыдущей программы на языке Pascal (0.5 Кб).

3. http://guopolysaevo.narod.ru/arc/cone0.files/ellips3q.zip. zip-архив dos-программы, которая демонстрирует факт, что эллипс есть огибающая семейства треугольников, вписанных в данную окружность. Один из фокусов эллипса - центр описанной около треугольников окружности, другой фокус эллипса - точка пересечения высот треугольников, (18 Кб).

4. http://guopolysaevo.narod.ru/arc/cone0.files/ellips3qp.zip. zip-архив исходного кода предыдущей программы на языке Pascal (1 Кб).

5. http://guopolysaevo.narod.ru/arc/cone0.files/ellipse.zip. zip-архив Windows-версии предыдущей программы. Программа написана на Delphi, (230 Кб).

В заключение хотелось бы перечислить в качестве примера несколько других удачных тем для исследовательской деятельности школьников по математике, эти темы разрабатывали мои ученики. Опираясь на эти примеры, учителя (а может и ученики!) возможно, сумеют найти свои удачные темы для исследования по математике.

1) Развлечения с суммами цифр. Результаты этого исследования опубликованы нами в журнале “Математика в школе”, № 8, 2000. Также статью можно скачать здесь: http://guopolysaevo.narod.ru/arc/summ17.zip.

2) Магические кубы. В этой исследовательской работе найден алгоритм построения магического куба нечётного порядка, доказывается правильность алгоритма, и приводится компьютерная программа, которая умеет строить магический куб. Эта работа – хороший пример того, как информационные технологии помогают в математических исследованиях, а математика помогает освоить искусство программирования. Статью можно скачать здесь: http://guopolysaevo.narod.ru/arc/cube3d17.zip.

3) Функция концентрации меры на кубах Хэмминга. В этой работе исследуется понятие функции концентрации меры, составляется программа построения её графика. Исследование весьма нетривиально и относится к одной из самых современных отраслей математики – асимптотическому геометрическому анализу. Эту работу можно скачать здесь: http://guopolysaevo.narod.ru/arc/alfa17.zip, а также на сайте Московского центра Интернет-образования (секция Математика) http://som.fio.ru/items.asp?id=10001768. Об опыте защиты этой работы на английском языке рассказывается здесь: http://guopolysaevo.narod.ru/arc/morgus17.zip.

4) Одно нелинейное диофантово уравнение. В этой работе найден метод решения нелинейного диофантова уравнения вида axy+bx+cy=d. Разработана компьютерная программа, реализующая этот алгоритм и решающая это диофантово уравнение по заданным целым коэффициентам. Скачать работу можно здесь: http://guopolysaevo.narod.ru/arc/diof17.zip.