Уравнения, неравенства, функции, содержащие переменную под знаком модуля.
Программно-методическое сопровождение курса по выбору

Морозов Владимир Владимирович,
учитель математики и информатики
НОУ частной школы "Ступени", Москва.

Пояснительная записка

Предлагаемая здесь программа курсов по выбору “Уравнения, неравенства, графики функций, содержащие переменную под знаком модуля” рассчитана на 8 часов, 1 час в неделю.

При изучении данного курса учащимся раскрываются простые, но эффективные способы решения уравнений и неравенств, приёмы построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.

Курс обеспечен дидактическими материалами малого механико-математического факультета Московского Государственного университета, материалами, найденными в Интернете.

Возможны следующие виды деятельности учащихся: решение уравнений и неравенств с модулем, построение графиков функций с модулем, использование компьютера для построения графиков функций, графического метода решения уравнений и неравенств с переменной под знаком модуля.

На этих элективных курсах самостоятельность учащихся проявляется в выборе заданий и выборе метода решения.

В процессе работы динамика интереса к элективному курсу будет фиксироваться с помощью анкетирования на первом и последнем занятии; собеседований в процессе работы после выполнения каждого вида упражнений.

Форма итоговой отчетности – выставка работ учащихся, в том числе с использованием компьютера.

Для занятий по математике предлагается тема “Уравнения, неравенства, функции, содержащие переменную под знаком модуля”, которая, с одной стороны, тесно примыкает к основному курсу, а с другой – позволяет познакомить учащихся с новыми идеями и методами, расширить представления об изучаемом материале и, главное, решать интересные задачи. Уровень сложности этих вопросов таков, что к их рассмотрению можно привлечь значительное число учащихся, а не только наиболее сильных, они интересны и доступны учащимся 9 классов, не требуют основательной предшествующей подготовки и особого уровня развития. Для тех школьников, которые пока не проявляет заметной склонности к математике, эти занятия могут стать толчком в развитии их интереса к предмету и вызвать желание узнать больше. Кроме того, хотя эти вопросы и выходят за рамки обязательного содержания, они, безусловно, будут способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических умений, предусмотренных программой. Однако учитель, конечно же, может вносить некоторые коррективы в предлагаемые материалы: ограничиться лишь частью рассматриваемых задач или же что-то добавить, воспользовавшись рекомендуемой литературой.

Основная цель данного курса по выбору – познакомить учащихся с основными приемами решения уравнений и неравенств, построения графиков уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, привлечь внимание к эстетической стороне этого вида деятельности, создать условия для творчества учащихся в исследовательской деятельности.

Когда в “стандартные” уравнения прямых, парабол, гипербол включают знак модуля, их графики становятся необычными и красивыми. Чтобы научиться строить такие графики, надо владеть приемами построения “базовых” фигур, а также твердо знать и понимать определение модуля числа.

Содержание курса включает не только информацию, расширяющую сведения по математике и информатике, но и знакомит учеников со способами деятельности, необходимыми для успешного освоения программы того или иного профиля.

В целях формирования интереса и положительной мотивации к математическому профилю через освоение новых аспектов содержания и более сложных способов деятельности, содержание данного элективного курса включает оригинальный материал, выходящий за рамки школьной программы.

Тематика занятий данного курса, количество заданий, широкий спектр заданий от простейших до более сложных носит избыточный и вариативный характер по отношению к тому количеству часов, которыми реально располагает учитель. Таким образом, будет обеспечен выбор тематики занятий, заданий и упражнений, что весьма важно в предпрофильной подготовке, осуществляться деятельностный подход.

• дать ученику возможность реализовать свой интерес к выбранному предмету;
• уточнить готовность и способность ученика осваивать выбранный предмет на повышенном уровне;
• создать условия для подготовки к экзаменам по выбору, т.е. по наиболее вероятным предметам будущего профилирования;
• выявить интересы и склонности, способности школьников и формировать практический опыт в различных сферах познавательной деятельности;
• оказать психолого-педагогическую помощь в приобретении школьниками представлений о жизненных, социальных ценностях, в том числе, связанных с профессиональным становлением. Выявлять и формировать средствами математики направленности личности, ее профессиональные интересы.

Для реализации последней цели в данной программе представлены фрагменты публикаций известных математиков о математике как науке и как профессии – В. А. Успенского, А. Н. Колмогорова, В. М. Тихомирова (см. приложение). С этими публикациями мы рекомендуем познакомиться учителям для того, чтобы донести это до учащихся в перерывах между выполнениями заданий в качестве отдыха. Считаем очень важным подчеркивать для детей силу математической школы России и её признание во всём мире, поскольку это усилит интерес к математике, будет воспитывать у учащихся патриотизм.

Таким образом, данные курсы по выбору являются прогностическими (пропедевтическими) по отношению к профильным курсам повышенного уровня, их присутствие в ученическом учебном плане повышает вероятность того, что выпускник основной школы сделает осознанный и успешный выбора профиля.

Понятие модуля. Графики функций y=|x|, y=|x-a|. (1 ч). Модуль как функция. Графики простейших функций, содержащих переменную под знаком модуля.

Свойства модуля. Модуль как расстояние. (1 ч). Расстояние на числовой прямой как модуль разности координат.

Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. (1 ч). Уравнение. Корень уравнения. Решение уравнения. Равносильные уравнения. Способы решения уравнений, содержащий переменную под знаком модуля.

Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. (3 ч). Модуль как расстояние для решения неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Универсальный алгоритм решения уравнения и неравенства, содержащего переменную под знаком модуля.

Приёмы построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля. (1 ч). Алгоритм построения графика вида y = |f(x)|. Алгоритм построения графика вида y = f(|x|).

Заключительное занятие. Решение уравнений, неравенств, построение графиков функций на компьютере. (1 ч). Знакомство с компьютером и программой канадских математиков GrafEq. Построение на компьютере графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля. Решение уравнений и неравенств графически методом.

Фрагмент занятия курса по выбору
“Модуль в математике” в 9 классе

Предлагаемое здесь занятие курсов по выбору “Функции, уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля” посвящено отработке простого и эффективного приёма решения уравнений и неравенств с модулями. На занятии работает разновозрастная группа – учащиеся 9 класса и ученики-консультанты учащиеся 10, 11 класса, активно применяются информационные технологии и методика взаимообмена заданиями технологии коллективного способа обучения (КСО).

КСО – это новейшая педагогическая технология, демократическая система обучения по способностям.

Введение коллективных учебных занятий – это качественное изменение всего учебного процесса. Это принципиально новый этап в его развитии.

КСО позволяет осваивать учебный материал с учётом способностей и задатков ученика в режиме индивидуального темпа.

Использование технологии КСО связана:

• с возможностью повышения эффективности процесса обучения; разрешении противоречия между быстро обновляющимся содержанием образования и традиционными организационными формами обучения;
• с возможностью осуществления индивидуализации обучения на коллективной основе.

Обучение других и усвоение изучаемого материала представляют собой единство, которое по природе присуще одному и тому же человеку.

Методика взаимообмена заданиями позволяет обучать решению стандартных, типовых задач.

Организация обучения по методике “Взаимообмен заданиями” предусматривает следующие этапы.

1. Подготовка учебного материала. Выбирается тема. Весь материал разбивается на разделы, которые оформляются на карточках. Карточка содержит однотипные упражнения и состоит из двух частей:

а) задание для ввода, оно же и для взаимообмена (это образец задания, которое ученик должен записать в тетрадь, внимательно разобрать его и научиться объяснять напарнику);

б) задание для закрепления навыка (самостоятельная работа и взаимоконтроль).

А) Ввод учителем. Ученики формируются в малые группы, получают карточки. Учитель приглашает к себе группу учеников с одинаковыми карточками. Объясняет им первую часть карточки. Каждый ученик сам делает необходимые записи. Учитель проверяет. Затем, один или два ученика вслух рассказывают, объясняют этот материал. Все слушают, дополняют, предлагают контрольные вопросы. Когда учитель видит, что все ученики по первой части карточки достаточно хорошо подготовлены и смогут грамотно пересказать её, он предлагает этим ученикам самостоятельно продолжить работу на месте и приглашает к себе группу учеников с другой карточкой. Пока учитель вводит карточки одним ученикам, другие могут начать работу сами или выполнять общее задание, например, на повторение.

Б) Ввод ассистентами. Учитель готовит ассистентов накануне. Как правило, один ассистент знает задания одной карточки и вводит её одному ученику в каждой малой группе. Ассистент рассказывает задание и вписывает образец его выполнения в тетрадь ученика, отвечает на его вопросы или сам задаёт контрольные вопросы. При этом следует научить слушающего объяснение управлять беседой, а именно, если беседа не удовлетворяет его, то задать нужные вопросы, а не пассивно воспринимать информацию. Удобно подготовить ассистентов из одной малой группы. Они получают карточки на дом и готовятся к вводу. Учитель проверяет их готовность перед уроком. После того, как ребята выполнили свои обязанности, они образуют малую сводную группу, им ввод уже не нужен, так как каждый может рассказать задание своей карточки напарнику. Они сразу же приступают к взаимообмену.

В) Групповой ввод. В начале работы создать сводные группы с одинаковыми заданиями в каждой группе. Каждая сводная группа выполняет задание одной карточки. В этой группе будут разные по скорости восприятия ученики. Они друг другу помогают, задают вопросы, отвечают на них. После окончания этой работы все садятся в свои малые группы и продолжают выполнять задание второй части карточки.

Г) Самоввод. На карточке, или в учебнике, или в конспекте может быть образец выполнения задания. Ученик должен его списать, ответить на вопросы, научиться объяснять товарищу. При этом он может задавать вопросы учителю или консультанту.

Запуск раздела считается законченным, если каждая карточка раздела выполнена хотя бы одним учеником.

Перечислим основные организационные формы коллективного учебного занятия:

Ф – групповая организационная форма обучения (фронтальная работа),

П – парная организационная форма обучения.

К – коллективная организационная форма обучения (взаимодействие в парах сменного состава).

И – индивидуальная организационная форма обучения (самостоятельная работа).

3. Алгоритм работы. После запуска учащиеся работают друг с другом в парах сменного состава. Каждый ученик в паре выполняет с объяснением первое задание своей карточки у напарника в тетради. Затем учащиеся меняются карточками, решают второе задание самостоятельно. Проверив друг у друга правильность решения, переходят в новую пару.

Учащиеся, закончившие работу над разделом, получают дополнительные задания повышенного уровня сложности.

Тема. Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.

Задачи:

• закрепить умение решать определённый класс уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля;
• развивать творческую сторону мышления;
• формировать навыки умственного труда – поиск рациональных путей решения;
• воспитывать толерантность, коллективизм, взаимопомощь.

Оборудование. Карточки для работы по методикам “Взаимообмен заданиями” <Приложение 1>.

Решебник для работы по методике “Взаимообмен заданиями” <Приложение 2>.

Алгоритм работы по методикам “Взаимообмен заданиями” <Приложение 3>.

Программа канадских математиков GrafEq для построения графиков (http://www.peda.com/).

1. Информационный ввод – 2 мин.
2. Работа в парах сменного состава по методикам “Взаимообмен заданиями” – 20 мин.
3. Мозговой штурм – 5 мин.
4. Решение уравнений и неравенств на компьютерах – 10 мин.
5. Итог коллективного занятия – 3 мин.

Самоанализ занятия см. в <Приложении 5>.