Программа факультатива «Математика на компьютере» для 9-10 классов

Морозов Владимир Владимирович,
учитель математики и информатики
НОУ частной школы "Ступени", Москва.

Программа стала победителем Всероссийского открытого конкурса "Педагогические инновации-2007", награждена медалью Януша Корчака.

Актуализация темы, важность

В современных условиях исследовательская деятельность стала распространённым явлением. Всё больше школьных учителей проявляют интерес к организации исследовательской деятельности учащихся. Исследовательская работа – это всегда результат совместной деятельности ученика и учителя по выявлению сущности изучаемых явлений, по открытию, фиксации и систематизации новых знаний. Исследовательская деятельность призвана способствовать обогащению интеллектуального потенциала общества, являясь одним из важнейших направлений гуманизации образования [27]. Настоящая программа как раз и призвана целенаправленно организовать исследовательскую деятельность учащихся по математике и информатике.

Школьная программа по математике содержит лишь самые необходимые, максимально упрощённые знания. Практика показывает громадный разрыв между содержанием школьной программы по математике и теми требованиями, которые налагаются на абитуриентов, поступающих в высшие учебные заведения. Поступить в вуз нашим выпускникам становится трудно не только в силу экономических и социально-политических условий, но и по причине несоответствия знаний выпускника, которого добросовестно учили по программе, и уровнем вступительных экзаменов в вуз. Учащиеся 10-11 классов, перегружаясь,  вынуждены посещать дополнительно платные курсы (которые не всем доступны), а учителя школ, заботясь о своих питомцах, вынуждены организовывать для них разного рода дополнительные занятия. И в целях наилучшего результата делать это надо не только в последние годы обучения, но значительно раньше.

Но главная цель предлагаемой программы не подготовка к вступительному экзамену (хотя и это важно), не только дать определённый объём знаний, готовых методов решения нестандартных задач (всех знаний дать невозможно), но научить самостоятельно мыслить, творчески подходить к любой проблеме. Это создаст предпосылки для рождения ученика как математика-профессионала, но даже если это не произойдёт, умение мыслить творчески, нестандартно, не будет лишним в любом виде деятельности в будущей жизни ученика.

В связи с этим и создаётся эта авторская программа факультатива «Математика на компьютере» для 9-10 классов.

Анализ имеющихся программ

Существуют программы факультативов по математике, предлагаемые министерством образования. Но даже в этих программах указывается, что «установка на повсеместное введение факультативов по единой программе оказалось несостоятельной, нежизненной» [28]. Рассмотрим внимательнее имеющиеся программы факультативов по математике.

1. «За страницами учебника математики».

В содержание этой программы включены следующие темы: «числовые множества», «метод координат», «элементы математической логики», «геометрические преобразования плоскости». Тема «элементы математической логики» скорее всего лишняя. В этой теме следовало бы оставить только операции над высказываниями, (это помогает глубоко понимать методы доказательства от противного), кванторы и символическую запись теорем, аксиом, определений. Но подробное изучение таких узкоспециальных вопросов как алгебра логики, моделирование формул логики высказываний релейно-контактными схемами, упрощение и синтез релейно-контактных схем неуместно в школьном факультативе, когда ещё далеко не все дети представляют свою будущую профессию. Это вопросы, которые нужны лишь разработчикам микропроцессоров и электронных систем, это не обязательно знать даже программистам-системщикам, которые очень тесно работают с компьютером. Если кто из детей в будущем и будет заниматься микроэлектроникой, то в соответствующем высшем учебном заведении им дадут необходимые для этого знания. Если ученик усвоит методы упрощения радиорелейных схем и тут же надолго запомнит без применения этих знаний на практике, то это будет чудо.

Тема «геометрические преобразования плоскости», предлагаемая в программе, тоже не вызывает восторга, эти вопросы суховаты для факультатива, да и изучаются в рамках программы по геометрии в 9  классе.

2. «Углубление основного курса».

Здесь предлагаются неплохие, интересные, важные темы: задачи на построение, элементы теории множеств (один из «китов» современной математики), теорема Виета, неравенства с модулем, задачи на доказательство. Но в этой программе есть и недостатки. Предлагаемые темы носят слишком завершённый и ограниченный характер. Почему рассматриваются только графики вида  по графику функции . Что мешает научить складывать, умножать графики и производить с ними целый спектр всевозможных манипуляций – ведь это практически не отнимет ни сил, ни времени. Почему теорема Виета рассматривается только для квадратных уравнений, в то время как её легко доказать и научить применять для многочленов любой степени? Опять же, на это не требуется много сил и времени. При таком подходе перед учащимися открываются широкие горизонты для самостоятельного исследования [18, 19, 20, 24, 25, 26]. Далее, очень хорошо, что предлагается изучать неравенства с модулем. Но тогда почему тут же не показать несколько разных способов решения уравнений с модулями? Ведь когда придёт время подготовки к вступительным экзаменам, придётся снова показывать приёмы решения не только неравенств, но и уравнений с модулями.

Кажется лишним доказывать теорему Пифагора несколькими способами, как предлагается в этой министерской программе. И опять тупик: где эти несколько способов пригодятся на практике? Для развития логики можно найти средства интереснее и важнее. Надо предоставить детям одно-два простейших, наглядных и самых понятных доказательства. И потом, как говорил профессор Пестов Г. Г., ученик Лузина Н. Н (Знаменитый сибирский математик, работал в Томске, затем в Москве)., «Если теорему доказывать несколькими способами, мы тем самым показываем, что сомневаемся в правильности доказательства».

Прекрасно, что предлагается рассмотреть неравенство Коши . Но почему бы тогда не продемонстрировать методы доказательства чуть более сложных неравенств с помощью этого простого неравенства?

Итак, в этой министерской программе наблюдается завершённость предлагаемых тем, перед детьми не открываются широкие горизонты для самостоятельного исследования.

Кроме того, описанные выше программы предлагают детям изучать математику в отрыве от информационных технологий, так широко вошедших сейчас в нашу жизнь.

В связи с выше изложенным предлагается настоящая программа факультатива «Математика на компьютере». Чем же она отличается от других? Эта программа отличается новизной целей (не только дать определённые знания и умения, но открыть перед детьми широкие горизонты для самостоятельного исследования), новизной задач (включены новые темы для изучения, предлагаются новые приёмы), новизной средств обучения (при работе над этой программой активно применяется компьютер). Эта программа предусматривает и расширение, и углубление основного курса. Расширение – так как в программу включены темы, не предусмотренные основным курсом, а углубление – так как некоторые темы изучаются более глубоко, чем в основном курсе.

Кроме того, в программе предусматривается самое активное использование персонального компьютера для демонстрации математических фактов, для проверки и опровержения гипотез, для создания алгоритмов решения серьёзных математических задач, для подготовки материалов исследования к публикации в Интернет, для проверки и опровержения гипотез, и, в конечном итоге, для совершения открытий в математике.

Цели и задачи программы.

Цель настоящей программы: воспитание широкого кругозора и математической культуры, предоставление детям возможности самостоятельно продолжать собственные исследования в самом широком диапазоне направлений, развитие у ребёнка механизмов подсознательного мышления.

Теперь о задачах этой программы. Многие учёные, изучавшие процесс мышления, заметили, что если человек размышляет над трудной задачей, не может с ней справиться, и вынужден её пока оставить, то какая-то часть разума всё равно продолжает размышлять над поставленной задачей, но ум уже не контролирует этот процесс, это происходит бессознательно. Это не означает, что мы отчаялись найти решение, мы только временно отключили ум от поставленной задачи, предоставив её разуму. Это ощущается неким напряжением, осознанием незавершённости поставленной цели, и это напряжение заставляет разум размышлять над задачей, хотя ум уже давно занимается другим. В тот счастливый момент, когда разум находит решение задачи, это решение «всплывает» из области бессознательного в область сознательного, снова контролируется и осознаётся умом. Это часто происходит в момент небольшого шока (падающие на голову яблоко или сосулька, холодная вода и тому подобное), а иногда это происходит само собой. Именно такой механизм мышления позволяет добиваться успешных результатов на олимпиадах естественно-математического цикла [10, 11, 30, 31, 32, 33], но этот механизм надо развивать и тренировать. Ум временно оставляет трудную задачу, берётся за другую. А разум продолжает размышлять над задачей уже практически без нашего участия. Развивать этот механизм – главная задача этого факультатива. Думается, именно в этом ключ к развитию интуиции.

Другие задачи факультатива – знакомить детей с новым учебным материалом, расширяющим и углубляющим школьную программу по математике, готовить детей к поступлению в высшие учебные заведения в будущем, научить использовать персональный компьютер как инструмент самостоятельного добывания знаний, для построения моделей изучаемых в математике явлений и результатов.

Программа рассчитана на два года, 68 часов, предусматривается одно занятие в неделю. Возраст учащихся 14-16 лет (9-10 классы). В этом факультативе рекомендуется заниматься детям с интеллектом средним и выше среднего, интересующимся точными науками, показавшими хотя бы какие-то положительные результаты в математике или в решении нестандартных задач.

Требования к руководителю (по убыванию важности).

1.      Самое главное – любить детей, не считать себя выше их, но быть равным.

2.      Свободно ориентироваться в методах и приёмах решения задач, в том числе нестандартных, уметь пользоваться комплектом программ MS Office, математическими программами grafEq (Компьютерная программа, разработанная канадскими математиками, её можно скачать здесь: http://www.peda.com/grafeq/), Maple, владеть языками программирования Pascal и Delphi.

3.      Уметь доступно и понятно, «на пальцах» объяснить детям любую, сколь угодно сложную тему.

4.      Уметь вызвать у ребёнка интерес к изучаемой теме.

5.      Хорошо представлять, с какими задачами ребёнок справится самостоятельно, а когда потребуется помощь, знать потолок, на который способен каждый ребёнок. Уметь организовать ребёнка на самостоятельное решение задач, которые ему по силам или почти по силам, на уровне его «потолка».

6.      Обладать определённым артистическими приёмами, чтобы управлять вниманием ребёнка. Иметь элементарные представления о психологии, темпераменте, особенностях восприятия.

Место реализации программы – общеобразовательная школа. 

Условия выполнения. Программа выполнима при наличии руководителя с описанными выше требованиями и при наличии детей с интеллектом не ниже среднего.

Оборудование. Для размножения списка заданий и для самостоятельного решения используется персональный компьютер и множительная техника. Для построения демонстрации некоторых диаграмм, схем, чертежей, иллюстраций математических закономерностей и т. п. также используется персональный компьютер, мультимедийный проектор.

Характеристика методов, приёмов работы. Весь изучаемый материал, предусмотренный программой, разбивается на блоки. Каждый блок изучается циклом: лекция ® практические, семинарские занятия ® самостоятельное выполнение заданий дома и в школе, обсуждение ® работа над проблемой на персональном компьютере ® самостоятельное выполнение заданий дома и в школе, обсуждение итоговое занятие.

Лекция предназначена для подачи теоретического материала, необходимого для самостоятельного решения практических заданий, крупным блоком. На первой же лекции при изучении каждого блока каждому учащемуся факультатива выдаётся список задач, которые необходимо решить. Слушая лекцию, дети уже будут знать, где какие знания можно применить, будут размышлять над поставленными задачами в свете этой лекции, будет развиваться механизм подсознательного мышления.

Во время лекции непременно должна быть обратная связь с детьми: необходимо всячески поощрять детей, задающих вопросы, участвующих в размышлении над обсуждаемым вопросом. Лекцию следует строить так, чтобы сложные рассуждения гармонично чередовались с простыми. Как утверждала Елена Рёрих, лучший отдых – это смена деятельности. Тем не менее, на этом факультативе предусматриваются довольно трудные задания, и даже внутри одной задачи дети могут оказаться перегруженными. Поэтому во время лекции надо чувствовать ситуацию, и если детям необходимо отдохнуть, то быстро переориентироваться и разрядить обстановку или шуткой, или кратким рассказом о том или ином математике или учёном [2].

Например, рассказ о Леонарде Эйлере не только позволит детям отдохнуть, но и воспитает любовь к науке и к России. Леонард Эйлер, швейцарец по происхождению, о котором в энциклопедиях пишут как о русском математике, потому что он жил и работал в России, сделал массу открытий в математике, верил в великое будущее России, любил Россию до такой степени, что ослеп на один глаз, а потом и вовсе потерял зрение над составлением первых российских карт. Это рассказ производит впечатление на детей, и, на мой взгляд, воспитывает и патриотизм, и трудолюбие, и упорство. Рассказы о К. Гауссе или И. Ньютоне производят не меньшее впечатление, не требуют много времени и служат для смены деятельности, для отдыха, для воспитания.

Семинар носит характер беседы, диалога, обсуждения в группе вопросов темы. Семинар можно использовать в тех случаях, когда дети не смогут эффективно разобраться в теме самостоятельно, но их следует лишь слегка подталкивать или подводить к маленькому открытию.

Практические занятия направлены на закрепление материала и для использования теоретических знаний, полученных на лекции, для решения задач. В каждом блоке предусмотрено около 10-15 задач различной сложности. На этих занятиях следует как можно чаще создавать проблемные ситуации. А проблемная ситуация создается при решении практически каждой задачи факультатива. Важно предоставлять детям возможность самостоятельно разрешить эту проблемную ситуацию.

Работа учащихся на персональном компьютере занимает в предлагаемой программе особое место. Используя современные информационные технологии, учащиеся могут проверять свои гипотезы, прежде чем пытаться их доказывать, могут строить модели математических объектов для демонстрации и изучения их свойств, могут составлять алгоритмы решения не только классических задач, но и задач, аналитическое решение которых сложно, могут оформлять результаты своего интеллектуального труда в виде грамотно оформленных документов, презентаций и сопровождать их иллюстрациями, полученными средствами широкого спектра программ, в том числе написанных самостоятельно, могут публиковать свои работы в Интернет.

Ведь какой «нехорошей болезнью» сейчас болеет преподавание предмета информатики в школе – на уроках информатики ребят учат, как правило, всего лишь пользоваться написанными кем-то программами, которые через пару-другую лет устареют. Но ведь нет такого предмета, где учат пользоваться телевизором, утюгом, микроволновой печью и т. д., но почему-то есть предмет, где учат пользоваться компьютерными программами. В предлагаемой здесь программе учат использовать персональный компьютер не как инструмент секретаря, но как инструмент математика, как инструмент для поиска гипотез, а в конечном итоге для самостоятельных открытий. И даже если в процессе работы учащихся по этой программе компьютер и будет использоваться как мультимедийный инструмент для демонстрации математический фактов, то и это полезно, ведь эти демонстрирующие программы напишут сами учащиеся [1].

Одного часа аудиторных занятий в неделю для решения поставленных авторской программой задач недостаточно. Все задачи, которые дети могут сделать самостоятельно, надо предоставить им для выполнения дома. Поскольку список задач по данному блоку у детей уже есть, то они могут самостоятельно выбрать себе задачу по силам, предложить свой путь решения, пусть даже и ошибочный. У многих учащихся сейчас есть персональный компьютер дома, и они имеют возможности самостоятельно писать собственные компьютерные программы в рамках настоящего курса. Но руководителю не следует пускать дело на самотёк, всегда необходимо чётко представлять максимальный уровень сложности, который доступен каждому конкретному ученику для того, чтобы предложить задачу, которая соответствует его «потолку». Решение именно такой задачи, которая решается не сразу, но всё же решается, доставляет ученику положительные эмоции, чувство собственного достоинства, ощущение себя разумным человеком, наслаждение и удовлетворение. Только так можно развить устойчивый интерес к предмету.

Самостоятельное выполнение заданий дома и в школе призвано решать главную задачу этого факультатива – развивать у ребёнка механизмы подсознательного мышления.

Во время работы с данным блоком участники факультатива готовят материалы факультатива – чётко оформленный сборник алгоритмов и решённых задач данного блока, публикуют его в Интернет, заботясь о посещаемости опубликованных материалов [6].

На итоговом занятии обсуждается созданный детьми сборник решённых задач, обсуждаются направления возможного дальнейшего самостоятельного исследования по вопросам данного блока. Обязательно обсуждаются связи между блоками, практическая ценность полученных знаний и т. п. Думается, что не обязательно отводить для подведения итогов целое занятие, для этого достаточно половины или трети занятия, в зависимости от ситуации.

Макродизайн программы.

Первый год обучения.

Проценты. Определение процента. Нахождение части от числа и числа по его части. Процент как часть от числа, разные способы нахождения. Процентное содержание. Задачи повышенной трудности на проценты [8]. Применение компьютерного калькулятора в задачах на проценты. Применение табличного процессора MS Excel для построения диаграмм. (5 часов.)

Предполагаемые результаты. Учащиеся должны знать: определение процента. Учащиеся должны уметь: находить процент от числа, находить часть от числа и число по его части, уметь выражать процент десятичной дробью и наоборот, находить число по его проценту, составлять текстовое описание при решении задач на проценты, при составлении уравнения, уметь решать задачи на процентное содержание вещества в растворе (это очень пригодится для успешного изучения химии, которая начинается в 8-м классе), уметь решать задачи на влажность и о сплавах. Подобные задания часто встречаются на олимпиадах по математике. Учащиеся должны уметь использовать программу Калькулятор и строить круговые и столбчатые диаграммы с помощью программы MS Excel.

Неравенство треугольника. Неравенство треугольника. Необходимое и достаточное условие существования треугольника с заданными сторонами. Следствие из неравенства треугольника. Медианы треугольника. Неравенства о сумме медиан треугольника. Доказательство закона отражения в оптике с помощью неравенства треугольника. (Этот факт здорово пригодится в физике. Показав этот результат, можно в качестве отдыха или смены деятельности рассказать об одном из главных законов природы: любые процессы в природе происходят с наименьшими затратами энергии, можно привести примеры: мыльные пузыри, жидкость в невесомости, форма планет, можно привести примеры из электротехники: ток выбирает путь наименьшего сопротивления и т. п. Все подобные отвлечения в химию, физику, астрономию усиливают межпредметные связи, открывают детям широкий кругозор для дальнейшего самостоятельного исследования, а это является целью данной авторской программы.).  Решение задач повышенной трудности с использованием неравенства треугольника [7]. (4 часа).

Предполагаемые результаты. Учащиеся должны знать: неравенство треугольника, его следствие, необходимое и достаточное условие существования треугольника с заданными сторонами. Учащиеся должны уметь: решать геометрические задачи средствами алгебры, составляя и решая уравнения, отбрасывая неверный ответ, проверив неравенство треугольника; уметь доказывать равенства и неравенства с помощью неравенства треугольника, уметь выбирать пути применения неравенства треугольника для успешного доказательства неравенств, уметь высказывать гипотезу, уметь строить противоречащие примеры для опровержения ложных утверждений, применять программу «Живая геометрия» для построения плоских геометрических моделей.

Треугольники и многоугольники. Теорема о сумме углов треугольника на плоскости. Сумма углов треугольника на конусе с вершиной конуса внутри треугольника. Положительная и отрицательная кривизна конуса. Сумма углов треугольника на сфере. (Найти сумму углов треугольника на конусе и вывести формулу для этой суммы желательно предоставить ребёнку самостоятельно, посоветовав сделать из бумаги модель конуса, не склеивая её, чтобы при необходимости можно было быстро сделать развёртку конуса. Дети будут потрясены: в школе им долбили, что сумма углов треугольника равна 180°, а тут вдруг на конусе сумма углов треугольника оказывается иногда больше (выпуклый конус), а иногда меньше 180° (вогнутый конус). Это яркий пример проблемной ситуации. Такой отход от программного материала воспитывает у ребёнка внимание, критическое мышление, учит не принимать всё на веру, а также учит детей чётко формулировать утверждения, ведь сумма углов треугольника равна 180° только на плоскости. После разрешения этой проблемной ситуации можно тут же создать новую проблемную ситуацию. Если, делая развёртку конуса не вырезать сектор из круга, а, напротив, вклеивать сектор, то сумма углов треугольника на таком вогнутом конусе равна 180° без градусной меры врезанного угла. (Желательно, чтобы дети самостоятельно получили этот результат с помощью нехитрой модели). А что если вклеить несколько секторов, общая градусная мера которых больше 180°? Что же, сумма углов треугольника тогда окажется отрицательной? В чём же дело? Если же не пожалеть несколько секунд времени занятия, взять одну из моделей выпуклого конуса, разрезать его плоскостью, параллельной одной из образующих, показать полученную кривую детям и объявить, что именно по такого рода кривым летает брошенный снежок, свисает бельевая верёвка, именно таков профиль спутниковой антенны, обеспечивающей приём НТВ+, то дети совершенно замрут от восторга. Опять-таки, такой подход открывает перед детьми широкие возможности для дальнейшего самостоятельного исследования в этой области.) Сумма углов выпуклого многоугольника. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника. Интегральная кривизна ломанных и гладких кривых. Применение интегральной кривизны для вывода формулы суммы острых углов звёздчатого многоугольника. Теорема о внешних углах треугольника. Признаки равенства треугольника. Свойства равнобедренного и прямоугольного треугольника. Медиана. Доказательство равенств и неравенств о медианах [7].(4 часа).

Предполагаемые результаты. Учащиеся должны знать теоремы о сумме углов треугольника на плоскости и на конусе, теоремы о сумме внутренних и о сумме внешних углов выпуклого многоугольника, теорему о внешних углах треугольника, свойства равнобедренного треугольника, понятие интегральной кривизны ломанной и гладкой кривой, методы нахождения интегральной кривизны. Учащиеся должны уметь: применять нужную теорему для решения задач на доказательство, уметь пользоваться уже доказанными утверждениями, уметь проводить доказательства от противного, пользуясь теоремой о сумме углов треугольника на плоскости, уметь вычислять интегральную кривизну и находить сумму острых углов звёздчатого многоугольника, применять признаки подобия треугольников, доказывать нестандартные равенства и неравенства, применять программу «Живая геометрия» для построения геометрических моделей.

Целочисленные уравнения. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. Свойства взаимно простых чисел. Теоремы о наибольшем общем делителе. Геометрический смысл Наибольшего общего делителя. Простые числа. Спираль Улама (Натуральные числа записываются по спирали, простые вычёркиваются. Простые числа на спирали Улама имеют тенденцию располагаться на диагональных линиях, эта тенденция сохраняется для очень больших размеров спирали Улама. Детям демонстрируется построенная компьютером Спираль Улама, а тем учащимся, у кого есть персональный компьютер можно предложить уже написанную программу на языке Turbo Pascal, которая на экране монитора строит эту спираль размером 400х400, простые числа отмечаются цветной точкой. Если ученик, имеющий компьютер, заинтересован программированием, то в индивидуальной беседе с ним можно обсудить особенности программирования этой задачи, тем более, что задача по программированию записать числа по спирали неоднократно предлагалась на студенческих олимпиадах по программированию. Стоит ли повторяться, что и здесь перед детьми открываются широкие возможности для самостоятельного исследования. Демонстрация спирали Улама на занятии займёт не более минуты, но всегда вызывает у детей интерес, они тут же пробуют сами строить спираль Улама хотя бы до 100. См. приложение 1.). Методы решения линейных уравнений в целых числах. Необходимое и достаточное условие существования целых решений линейных уравнений [31]. Алгоритм Евклида для поиска наибольшего общего делителя. Наименьшее общее кратное. [3] Реализация алгоритма поиска наибольшего общего делителя, наименьшего общего кратного, алгоритма сокращения рациональных дробей, алгоритма решения линейных и нелинейных диофантовых уравнений на компьютере на языке программирования Pascal (Delphi) [16, 21]. (5 часов).

Предполагаемые результаты. Учащиеся должны знать: определение наибольшего общего делителя, определения простого числа и взаимно простых чисел, необходимое и достаточное условие существования целочисленных решений линейных уравнений. Учащиеся должны уметь: находить наибольший общий делитель разными способами, выбирать наилучший способ, определять, существует ли решение линейного уравнения в целых числах, решать линейные уравнения в целых числах наиболее рациональным способом, решать текстовые задачи, приводящие к диофантовым уравнениям, уметь писать на языке Pascal (Delphi) программы поиска наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, сокращения обыкновенных дробей, решения линейных и нелинейных диофантовых уравнений.

Логика. Принцип Дирихле. Порою бывает модно, но не всегда, использовать в олимпиадах по математике принцип Дирихле. В этой программе принцип Дирихле необходим как стартовая ступень для темы «Делимость простых чисел», для совершенствования метода доказательства от противного, для развития логического мышления, и, на конец, для подготовки потенциального победителя олимпиады. Элементы математической логики. Высказывания. Кванторы всеобщности и существования. Операции над высказываниями. Теорема де Моргана. (Отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний. После доказательства этой теоремы можно показать доказательство шуточной «теоремы о том, что существуют кикиморы» и тем самым продемонстрировать недопустимость использовать в логике высказывания, которые говорят о своей собственной истинности.). Метод доказательства от противного. Применение принципа Дирихле в геометрии, алгебре, арифметике [32]. (5 часов).

Предполагаемые результаты. Учащиеся должны знать: суть метода доказательства от противного, принцип Дирихле. Учащиеся должны уметь в каждой задаче определять, что в ней «клетки», а что «зайцы» (Принцип Дирихле заключается в следующем: если nk+p зайцев расположить как попало по k клеткам, то найдётся клетка, в которой по меньшей мере n+1 заяц.), в каждой задаче уметь строить «клетки» и размещая в них «зайцев», делать правильные выводы, уметь оформлять решения задач, используя комплект программ MS Office и FrontPage и сопровождая текст рисунками и диаграммами, публиковать свои работы в Интернет [6].

Метод математической индукции. (Этот блок служит для подготовки к олимпиаде по математике, очень часто на олимпиадах встречаются задачи на применение метода математической индукции. Прежде метод математической индукции включался в школьные учебники в 8 классе (ныне 9). Но думается, ничто не мешает изучить его в середине восьмого класса, тем более, что этот метод вместе с принципом Дирихле очень уместны для развития логического мышления и для последующих тем факультатива.) Индукция и дедукция. Аксиомы Пеано. Метод математической индукции. Обобщённый метод математической индукции. «Парадоксы» метода [30]. (5 часов).

Предполагаемые результаты. Учащиеся должны знать: суть метода математической индукции. Учащиеся должны уметь доказывать методом математической индукции несколько классов утверждений: делимость, тождества, неравенства, уметь доказывать утверждения текстовых задач, уметь обнаруживать ошибки в рассуждениях с применением метода математической индукции. Уметь определять, какой метод надо применять: метод математической индукции или принцип Дирихле, уметь оформлять решения задач, используя комплект программ MS Office и FrontPage и сопровождая текст рисунками и диаграммами, уметь публиковать свои работы в Интернет.

Делимость целых чисел. Делимость суммы, разности и произведения. Деление с остатком. Определение сравнимости по модулю. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности  и фактор-множества.  Теорема о суммах цифр [24]. Деление многочленов уголком. Применение принципа Дирихле для доказательства утверждений о делимости. Признаки делимости на 3, на 9, на 2, 4, 8, 5, 10, 11. Признаки делимости на простые числа. Задачи повышенной сложности о суммах цифр и делимости [3]. (6 часов).

Предполагаемые результаты. Учащиеся должны знать: понятие сравнимости чисел по модулю, понятие отношения эквивалентности, класса эквивалентности и фактор-множества, теорему о суммах цифр, признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 8, 10, 11. Учащиеся должны уметь проверять, является ли данное отношение отношением эквивалентности, по заданному отношению эквивалентности представлять устройство классов эквивалентности и структуру фактор-множества, выводить самостоятельно признаки делимости на простые числа 17, 19, и т. д., уметь применять признаки делимости и теорему о суммах цифр для решения нестандартных задач, уметь реализовывать на языке Pascal (Delphi) алгоритмы подсчёта суммы цифр.

Второй год обучения.

Тождественные преобразования. Комбинаторика. Факториал. Размещения, сочетания, выборка с возвращением и без возвращения. Треугольник Паскаля (Учащимся будет чрезвычайно полезно самостоятельно написать программу построения треугольника Паскаля. Ведь тогда они просто не смогут забыть, как строится треугольник Паскаля, а значит, ребят теперь никогда не поставит в тупик, скажем, раскрыть скобки в выражении .). Бином Ньютона (Необходимо непременно включить рассказы о Паскале и его переписке с Ферма, о Ньютоне, о том, что он оставил  огромное наследие не только в физике, механике, оптике, астрономии, но и в математике, истории, был признанным специалистом по химии, превосходно знал свойства металлов, поэтому был директором Монетного двора Великобритании, наладил монетное дело в стране, и даже писал богословские трактаты. Можно упомянуть и о сложных отношениях Ньютона и Гука, о скромности учителя Ньютона – Барроу, о том, что так называемый «бином Ньютона» Ньютону рассказал Барроу, о котором мало кто знает.), доказательство бинома. Числовое выражение. Равенство. Разложение на множители. Формулы сокращённого умножения. Формулы , . Упрощение выражений. Метод выделения полного квадрата. Избавление от иррациональности в знаменателе дроби [3]. Куб Хэмминга. Расстояние на кубе Хэмминга. Мера на кубе Хэмминга [14, 15]. Функция концентрации меры на кубе Хэмминга [23]. (7 ч.).

Предполагаемые результаты. Учащиеся должны знать: понятие тождества, формулы перестановок, размещений, сочетаний, формулы сокращённого умножения, формулы ,, бином Ньютона. Учащиеся должны уметь решать несложные комбинаторные задачи, строить треугольник Паскаля до любого этажа, записывать формулу бинома Ньютона для любой натуральной степени, применять формулы сокращённого умножения для доказательства тождеств и для упрощения выражений, уметь выделять полный квадрат, избавляться от иррациональности в знаменателе, уметь реализовывать на языке Pascal (Delphi) алгоритм построения треугольника Паскаля и алгоритм построения графика функции концентрации меры на кубах Хемминга.

Теорема Виета. Понятие комплексного числа. Основная теорема алгебры. Теорема Виета для квадратного трёхчлена. Теорема Виета для уравнения произвольной степени (доказательство). Нахождение целых корней уравнений с помощью теоремы Виета. Нахождение рациональных корней многочлена, теорема о рациональных корнях многочлена. Доказательство иррациональности . Решение уравнения на компьютере: метод дихотомии (половинного деления) [3]. (4 ч.).

Предполагаемые результаты. Учащиеся должны знать основную теорему алгебры, теорему Виета для квадратного трёхчлена и для многочлена произвольной степени, теорему о рациональных корнях многочлена. Учащиеся должны уметь определять число коней многочлена, применять теорему Виета и теорему о рациональных корнях многочлена для нахождения рациональных корней, доказывать иррациональность чисел вида , , уметь применять квадратичные функции к расчётам оптимальных вариантов без использования производной [9], уметь реализовывать алгоритм поиска корней уравнения n-й степени методом дихотомии, уметь определять число корней уравнения графическим методом средстваvи программы grafEq.

Модули. Определение модуля. Свойства модуля. Системы уравнений (неравенств), совокупности уравнений (неравенств), равносильность. Приёмы решения уравнений с модулями. Модуль как расстояние. Метод интервалов. Решение уравнений и неравенств с модулем в общем случае. Уравнения и неравенства с вложенными модулями [17, 22]. (5 ч.).

Предполагаемые результаты. Учащиеся должны знать: определение модуля, свойства модуля, методы решения систем и совокупностей линейных уравнений и неравенств. Учащиеся должны уметь решать неравенства методом интервалов, решать уравнения и неравенства с модулем, пользуясь модулем как расстоянием, уметь заменить уравнение или неравенство с модулями равносильной совокупностью систем уравнений и неравенств, уметь решать эти совокупности и неравенства, грамотно записывать ответ и делать проверку. Уметь решать уравнения и неравенства с вложенными модулями. Уметь строить графики функций, содержащих переменную под знаком модуля средствами программы MS Excel и в программе Maple.

Системы линейных уравнений. Линейная зависимость, арифметическая прогрессия и её связь с линейной зависимостью. Система линейных уравнений. Подстановка и степень подстановки. Матрица системы. Определитель матрицы. Метода Крамера решения систем линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Линейное программирование. (7 часов).

Предполагаемые результаты. Учащиеся должны знать: определения  линейной зависимости, подстановки, степени подстановки, матрицы системы линейных уравнений, определителя квадратной матрицы, эквивалентных матриц, знать свойства определителя. Учащиеся должны уметь: вычислять определители второго, третьего порядка и более высокого порядка, уметь решать системы линейных уравнений методом Крамера, приводить матрицы к треугольному и диагональному виду методом Гаусса, решать системы методом Гаусса. Уметь применять линейное программирование для решения определённого класса задач теории оптимального управления. Уметь решать системы линейных уравнений средствами программы MS Excel, уметь реализовывать на языке Pascal (Delphi) алгоритм вычисления определителя квадратной матрицы, решения системы линейных уравнений методом Крамера и методом Гаусса.

Конические сечения. Шары Данделена. Понятие о конических сечениях: окружности, эллипсе, параболе, гиперболе. Обратно пропорциональная, квадратичная функции и их графики, применение этих функций. Оптические свойства конических сечений [29]. Конические сечения в физике. Эллипс и замечательные точки треугольника. Окружность девяти точек. Прямая Эйлера [12, 20]. (5 часов).

Предполагаемые результаты. Учащиеся должны знать: определения конических сечении: окружности, эллипса, гиперболы, параболы, фокусов эллипса и параболы, оптические свойства конических сечений, иметь представление о связи между замечательными точками треугольника и эллипсом, о применении свойств конических сечений в физике. Учащиеся должны уметь: строить конические сечения, находить координаты фокусов конических сечений, графическими средствами персонального компьютера строить модели для демонстрации оптических и геометрических свойств конических сечений.

Задачи с параметром. Линейные уравнения с параметром. Квадратные уравнения с параметром. Графический и аналитический методы решения. Количество решений задачи с параметром [4, 5,13]. (6 часов).

Предполагаемые результаты. Учащиеся должны знать: особенности решения систем линейных и нелинейных уравнений и неравенств с параметрами, графический и аналитический приёмы решения задач с параметрами, зависимость свойств корней квадратных уравнений от их коэффициентов.

Учащиеся должны уметь: рационально выбирать метод решения задачи с параметром, решать задачи с параметром графическим методом, в том числе активно привлекая для этого персональный компьютер и программы MS Excel, GrafEq и Maple, решать задачи с параметром аналитически, проверять решение задачи с параметром.

Микродизайн программы

Учебно-тематический план – разбивка разделов по часам

Логические связи между изучаемыми блоками в программе

Авторские рекомендации по внедрению программы

Для того, чтобы достичь поставленные авторской программой цели и решить поставленные задачи необходимо выполнить следующие условия:

¨        Добиваться от детей насколько возможно, чтобы они решали задания каждого блока самостоятельно, всячески поощрять любую инициативу, даже если предлагаемое ребёнком решение содержит ошибку, пусть даже грубую. Все когда-то ошибаются.

¨        Систематически учить детей не сдаваться перед трудной неразрешимой задачей. Пусть задача пока не решается. Мы не бросим её, а подумаем над ней ещё несколько минут и временно отложим, пусть этой задачей занимается подсознательный разум, чуть позже решение придёт (Даже если преподаватель знает решение задачи, можно претвориться, что ты его пока не знаешь, и предложить ученику оказаться умнее учителя. Не надо этого бояться). Таким образом, можно развивать у ребёнка подсознательный разум. Убеждён, что именно подсознательный разум делает любое открытие в науке, а не рутинные выкладки.

¨        В тексте этой авторской программы в силу ограниченности места невозможно отразить весь спектр возможных путей для самостоятельного исследования детей. Поэтому важно подчеркнуть следующее. При изучении каждого блока не следует завершать его в глазах детей. Обязательно надо показывать детям пути дальнейшего самостоятельного исследования связанных с этим блоком вопросов. Например, тема «Тождественные преобразования» имеет выход к сумме геометрической прогрессии, та, в свою очередь, ведёт ещё дальше. В теме «Метод математической индукции» вообще глаза разбегаются от возможных направлений исследования. Это и сумма арифметической прогрессии, и обобщения бинома Ньютона, список неограничен. Тема «Делимость целых чисел». Здесь непочатый край для исследования, например, выводить собственные признаки делимости на любое простое число. Этот список можно продолжать и дальше, но принцип ясен.

Во время апробации этой программы мы столкнулись со следующими трудностями.

¨        Описанные выше рекомендации являются «потолком», идеалом, к этому надо стремиться. Цели и задачи, поставленные этой программой не решаются за 2-3 занятия, не решатся и за 10 часов. Кто знает, решатся ли они за год? Над этим надо работать систематически, на каждом занятии. Конечно, это не легко.

¨        Труден бывает выбор: или потерять какое-то время, но зато предоставить детям самостоятельно решить задачу, или оказать побольше помощи в решении конкретной задачи, выиграть время и успеть познакомить с каким-нибудь интересным вопросом. Конечно, никогда не надо показывать сразу готовое решение, если дети могут сделать хотя бы шаг самостоятельно, польза от этого минимальна. Но выбрать степень помощи детям при решении нестандартных задач бывает трудно.

Программа на языке программирования Turbo Pascal построения спирали Улама. 

program ulam;

{Программа записывает числа по спирали от n до 1, простые отмечаются светлой точкой, составные - тёмной точкой. Чётко просматривается тенденция простых чисел располагаться по диагонали. Это явление называется 'Спиралью Улама'}

uses crt,graph,graphpl;

const n=450;{Длина стороны Спирали Улама}

var s,m,i,j,k:integer;c:real;ccc,drivepath:string; key:char;

    {Функция определяет является ли число с простым. }

           function proper(c:real):boolean;

           var l:boolean;d,c0:integer;cc:real;

           begin

              cc:=c; c0:=succ(trunc(sqrt(cc)));

 l:=true; d:=2;

              while l and (d<=c0) do

                begin

                  l:=l and (abs(c-(d*int(c/d)))>1e-5);

                  d:=d+1;

                end;

                proper:=l

           end;

begin

    clrscr; s:=0; opengraph; setbkcolor(0); setcolor(4);

    settextstyle(0,1,2); textcolor(15);

    {outtextxy(470,20,'Cпираль Улама');}

    textcolor(1); settextstyle(0,1,0); c:=n*n;

    str(n*n,ccc); settextstyle(0,1,3);

    outtextxy(530,100,ccc); setcolor(11);

    m:=succ(n div 2);{количество витков} i:=0; s:=0;

    repeat

      i:=i+1; {i-й виток}

        for j:=i to n-i+1 do {верхняя строка i-го витка}

          begin

            if proper(c) then

               begin putpixel(i,j,11); s:=s+1 end;

            c:=c-1

          end;

        for j:=i+1 to n-i+1 do {правый столбец i витка}

          begin

            if proper(c) then

               begin putpixel(j,n-i+1,10); s:=s+1 end;

            c:=c-1

          end;

        for j:=n-i downto i do {нижняя строка i витка}

          begin

            if proper(c) then

               begin putpixel(n-i+1,j,9); s:=s+1 end;

            c:=c-1

          end;

        for j:=n-i downto i+1 do

          {левый столбец i-го витка}

          begin

            if proper(c) then

               begin putpixel(j,i,14); s:=s+1 end;

            c:=c-1

          end;

      until (i=m) or (keypressed);

{картинка готова}

readkey; closegraph; repeat until keypressed;

textcolor(11); textbackground(1); clrscr;

window(14,40,15,80); write(s,' Простых чисел.');

readkey; repeat until keypressed

end.

Результат работы программы. Спираль Улама.

Приложение 2

Теорема о суммах цифр ([24])

 Определение. У некоторого натурального числа n найдём его сумму цифр. У полученного числа снова найдём сумму цифр. Так будем продолжать до тех пор, пока не получится однозначное число.

Это число и назовём окончательной суммой цифр и обозначим s(n).

Например, s(45738465)=6.

Рассматривая таблицу квадратов натуральных чисел, замечаем, что в клетках, расположенных по диагоналям таблицы окончательная сумма цифр одна и та же. Например, в выделенных ячейках таблицы на рис. 1 окончательная сумма цифр равна 9. Возникает вопрос, всегда ли выполняется замеченная закономерность?

Ученик 9-го класса Груненко Л. написал программу для персонального компьютера для проверки или опровержения этой гипотезы и выяснил, что эта закономерность выполняется не только для квадратов, но и для любых натуральных степеней. Более того, благодаря этой программе возникла гипотеза: s(ab)=s(s(a)s(b)). Теперь докажем истинность этих гипотез.

Лемма. Пусть p – основание системы исчисления, n – некоторое натуральное число. Тогда окончательная сумма цифр s(n) есть остаток от деления n на (p-1) (В десятичной системе исчисления – остаток от деления на 9 (Оговоримся сразу для удобства, что если n делится нацело на (p-1), то будем считать «остатком» число (p-1) вместо нуля.)).

Доказательство. Пусть n=abc...d (a, b, c, ... d - цифры). Разность этого числа и его суммы цифр делится на (p-1). Значит, чтобы получить суму цифр a+b+c+...+d, надо из числа n несколько раз вычесть . Чтобы вычислить сумму цифр второй раз, надо ещё несколько раз вычесть , и т. д. до тех пор, пока не останется однозначное число. Естественно, это остаток от деления n на , или само число  в случае, если n делится на  нацело. Лемма доказана.

Определение. Будем говорить, что а сравнимо с b по модулю d, если .

Пример. 51 сравнимо с 2 по модулю 7 так как 51-2 делится на 7.

Отношение сравнимости является отношением эквивалентности,

Теорема. s(ab)=s(s(a)s(b)), s(a+b)=s(s(a)+s(b)).

Доказательство. Согласно лемме существуют такие целые n и m, такие, что a=(p-1)n+s(a), b=(p-1)m+s(b). Умножая эти равенства, получаем: ab=(p-1)k+s(a)s(b), где k – некоторое целое число. Значит, ab сравнимо с s(a)s(b) по модулю p-1. Иными словами, у чисел ab и s(a)s(b) одинаковые остатки от деления на , то есть их окончательные суммы цифр равны.

Аналогично, складывая равенства a=(p-1)n+s(a) и b=(p-1)m+s(b), получаем a+b=(p-1)(n+m)+s(a)+s(b).

Значит, a+b сравнимо с s(a)+s(b) по модулю (p-1). Иными словами, у чисел a+b и s(a)+s(b) одинаковые остатки от деления на , то есть их окончательные суммы цифр равны: s(a+b)=s(s(a)+s(b)). Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть a, b – натуральные числа, пусть их окончательные суммы цифр равны: s(a)=s(b).

Тогда для любого натурального n:

1.     s(aⁿ)=s(bⁿ).

2.     s(na)=s(nb).

3.     s(a+n)=s(b+n).

Доказательство. По доказанной выше теореме, s(aⁿ)=s(s(a)ⁿ), по условию s(a)=s(b), значит, s(aⁿ)=s(s(a)ⁿ)=s(s(b)ⁿ)=s(bⁿ). Аналогично доказываются 2 и 3 равенства,.

Следствие 2. Пусть f(x) – многочлен с целыми коэффициентами, принимающий положительные значения при натуральных аргументах. Если s(a)=s(b), то s(f(a))=s(f(b)).

Эти результаты можно использовать для поиска ошибок в громоздких вычислениях или для опровержения некоторых равенств.

Пример. Верно ли равенство 7848319406×2847563 =22348582952707578 (намеренно допущена ошибка, вместо выделенной двойки должна быть тройка). Проверяем: окончательную сумму цифр первого числа считаем так: складываем цифры и по мере накопления суммы отнимаем девятки. Получаем 5. Окончательная сумма цифр второго числа равна 8. Значит, по теореме, у произведения окончательная сумма цифр должна быть равна s(5×8)=4. А у нас окончательная сумма цифр результата равна 3, что не возможно. Вывод: данное равенство не верно.

Пример (в восьмеричной системе исчисления). Верно ли равенство 6274₈×341₈=2630374₈? Нет, так как в восьмеричной системе исчисления окончательная сумма первого множителя равна 5, второго множителя равна 1. Значит, по теореме, окончательная сумма цифр произведения должна быть равна 5, но окончательная сумма цифр правой части равенства равна 4, что невозможно. 

Итак, если окончательная сумма цифр не сходится с данными теоремы, то вычисления не верные. Если же суммы цифр сходятся, то это ещё не доказывает правильность вычислений.

Пример (олимпиадного характера). Может ли число 1981198119811981...1981 (группа цифр 1981 повторяется 1400 раз) быть квадратом натурального числа? Нет. Согласно теореме, окончательная сумма цифр квадрата может быть равна только 1, 4, 7, 9. У нашего же числа окончательная сумма цифр равна пяти, как нетрудно убедиться. Впрочем, сразу видно, что данное число не может быть и кубом натурального числа.

Пример. На очной соросовской олимпиаде по математике ученикам 11 класса была предложена задача. «Найти все натуральные числа, меньшие чем 10⁵, которые делятся на 1999 и у которых сумма цифр в десятичной записи равна 25». Дети решали эту задачу, перебирая натуральные числа от 1 до 50, умножали их на 1999 и проверяли сумму цифр результата на предмет равенства 25. Без калькулятора не обошлось. Но эту задачу можно очень красиво решить с помощью обсуждаемой теоремы. Ведь если сумма цифр произведения равна 25, то окончательная сумма цифр произведения равна 7. Окончательная сумма цифр числа 1999 равна 1. Поэтому искомый множитель находится среди чисел, чья окончательная сумма цифр равна 7. Это числа: 7, 16, 25, 34, 43. Число 52 нас уже не устраивает. Умножая эти числа на 1999, имеем:

7×1999=13997, сумма цифр равна 25.

16×1999=31984, сумма цифр равна 25.

25×1999=49975, сумма цифр равна 34.

34×1999=67966, сумма цифр равна 34.

43×1999=85957, сумма цифр равна 34.

Доказанная здесь теорема позволяет утверждать, что других решений нет. Заметим, что с помощью этой теоремы перебор сократился ровно в 10 раз.

Ответ. Искомые числа 13993, 31984.

Последний пример показывает, что теорема о суммах цифр позволяет создавать аналогичные нестандартные задачи олимпиадного характера.

Приложение 3.

Программа на языке программирования Turbo Pascal построения треугольника Паскаля.

program pas;

uses crt; const n=17;var x:array[1..n,1..n] of integer; i,j,k:integer;ch:char;

    begin

      for i:=1 to n do begin x[i,1]:=1;

      for j:=2 to n do x[i,j]:=0  end; clrscr;

         for i:=2 to n do

            begin for j:=2 to i do

              x[i,j]:=x[i-1,j-1]+x[i-1,j]

            end;

        for i:=1 to n do

           begin writeln;

             for j:=1 to i do begin

             {gotoXY(5*j+30-2*i,i+1);}write(x[i,j],' ')

             end

           end; ch:=readkey;

    end.

Треугольник Паскаля

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1

1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1

1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1

1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1

1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1

Библиография

1.      Бурсиан, Э. В. Физика. 100 задач для решения на компьютере. Учебное пособие. [Текст] / Э. В. Бурсиан. – СПб. : ИД МиМ, 1997. – 256 с.

2.      Виленкин, Н. Я. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия : Кн. для учащихся 10-11 кл. общеобразоват. Учреждений [Текст] / Н. Я. Виленкин, Л. П. Шибасов, З. Ф. Шибасова. – М. : Просвещение, 1996. – 320 с. : ил.

3.      Галочкин, А. И. Числа и многочлены: Методические указания для учащихся [Текст] / А. И. Галочкин. – М. : изд-во Московского ун-та, 1988.

4.      Горнштейн, П. И. Задачи с параметрами. 3-е издание, дополненное и переработанное [Текст] / П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М. С. Якир. – М. : Илекса, Харьков: Гимназия, 2003. – 336 с.

5.      Жафяров, А. Ж. Профильное обучение математике старшеклассников. Учебно-дидактический комплекс [Текст] / А. Ж. Жафяров. – Новосибирск : Сиб. унив. изд-во, 2003. – 48 с.

6.      Загуменнов, А. П. Как раскрутить Web-сайт [Текст] / А. П. Загуменнов. – М. : ДМК Пресс, 2001. – 272 с. : ил.

7.      Иванова, Е. Ю. Планиметрия: Методические разработки для учащихся [Текст] / Е. Ю. Иванова. – М.: изд-во Московского ун-та, 1996.

8.      Иванова, Е. Ю. Проценты: Методические разработки для учащихся [Текст] / Е. Ю. Иванова. – М. : изд-во Московского ун-та, 1997.

9.      Купцов, Л. П. Российские математические олимпиады школьников : Кн. для учащихся [Текст] / Л. П. Купцов, С. В. Резниченко, Д. А. Терёшкин. – Ростов н/Д. : Феникс, 1996. – 640 с.

10. Математические олимпиады школьников: Книга для учащихся общеобразоват. Учреждений [Текст] / Н. Х. Агаханов, Л. П. [и др.] – М. : Просвещение : Учеб. лит., 1997. – 208 с. : ил.

11. Математические олимпиады школьников: Книга для учащихся общеобразоват. Учреждений [Текст] / Л. П. Купцов [и др.] – М. : Просвещение, 1998. – 256 с. : ил.

12. Морозов, В. В. Конические сечения и свойства их касательных [Электронный ресурс] / В. В. Морозов. – Управление образования г. Полысаево. – http://guopolysaevo.narod.ru/17.htm. (2005).

13. Морозов, В. В. Занятие элективного курса «Математический практикум. Решение задач с параметром» для 10 класса (физико-математический профиль) [Электронный ресурс] / В. В. Морозов. – Управление образования г. Полысаево. – http://guopolysaevo.narod.ru/17.htm. (2005).

14. Морозов, В. В. Английский – язык науки [Электронный ресурс] / В. В. Морозов, С. Н. Гусева – Управление образования г. Полысаево. – http://guopolysaevo.narod.ru/17.htm. (2004).

15. Морозов, В. В. Иностранный язык в проектно-исследовательской деятельности по математике и информатике [Электронный ресурс] / В. В. Морозов, С. Н. Гусева – Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». – http://festival.1september.ru/2004_2005/index.php?numb _artic=211822. (2005).

16. Морозов, В. В. Об одном нелинейном диофантовом уравнении [Электронный ресурс] / В. В. Морозов. – Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». – http://festival.1september.ru/2004_2005/index.php? numb _artic=211823. (2005).

17. Морозов, В. В. Уравнения, неравенства, функции, содержащие переменную под знаком модуля. Программно-методическое сопровождение курсов по выбору [Электронный ресурс] / В. В. Морозов. – Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». – http://festival.1september.ru /2004_2005/index.php?numb_artic= 211823 (2005).

18. Морозов, В. В. Об опыте организации исследовательской деятельности учащихся по математике и информатике [Электронный ресурс] / В. В. Морозов. – Фестиваль сетевых сообществ. Всероссийский Интернет педсовет – http://som.fio.ru/getblob.asp?id=10018535. (2005).

19. Морозов, В. В. Проектно-исследовательская деятельность по математике и информатике в школе [Электронный ресурс] / В. В. Морозов. – Фестиваль сетевых сообществ. Всероссийский Интернет педсовет – http://som.fio.ru/getblob.asp?id=10018539. (2005).

20. Морозов, В. В. Исследовательская деятельность с учащимися по математике в средней школе [Электронный ресурс] / В. В. Морозов. – Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» – http://festival.1september.ru/index.php?numb_artic=310447. (2006).

21. Морозов, В. В. Одно диофантово уравнение. Исследовательская задача [Электронный ресурс] / В. В. Морозов. – Московский центр Интернет-образования. Секция Математика. – http://som.fio.ru/items.asp?id=10001768. (2004).

22. Морозов, В. В. Разработка открытого занятия курса по выбору [Электронный ресурс] / В. В. Морозов. – Московский центр Интернет-образования. Секция Математика. – http://som.fio.ru/items.asp?id=10001768. (2004).

23. Морозов, В. В. Асимптотический геометрический анализ. Функция концентрации меры на кубах Хемминга. Исследовательская задача. [Электронный ресурс] / В. В. Морозов. – Московский центр Интернет-образования. Секция Математика. – http://som.fio.ru/items.asp?id=10001768. (2004).

24. Морозов, В. В. Опыты детского творчества. [Текст] / В. В. Морозов. // Математика в школе. – 2000. – № 8.

25. Морозов, В. В. Развлечения с суммами цифр. Опыты детского творчества [Электронный ресурс] / В. В. Морозов. – Управление образования г. Полысаево. – http://guopolysaevo.narod.ru/17.htm. (2000).

26. Морозов, В. В. Магические кубы [Электронный ресурс] / В. В. Морозов. – Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». – http://festival.1september.ru/index.php?member=104320. (2003).

27. Овчинникова, Е. Г. Исследовательская деятельность школьников как объект целенаправленного педагогического руководства [Текст] / Е. Г. Овчинникова, В. Н. Борздун // Учитель Кузбасса. 2006. – № 1. – С. 81-90.

28. Программы. Факультативные курсы [Текст] : Сборник № 2. – М. : Просвещение, 1990.

29. Семёнов, В. И. Некоторые методические и методологические аспекты углубленного изучения математики [Текст] / В. И. Семёнов. – Кемерово, 1998.

30. Фарков, А. В. Математические олимпиады в школе. 5-1 класс. – 4-е изд. [Текст] / А. В. Фарков. – М. : Айрис-пресс, 2005. – 176 с. : ил.

31. Фоминых, Ю. Ф. Диофантовы уравнения [Текст] / Ю. Ф. Фоминых // Математика в школе. 1996. – № 6.

32. Фоминых, Ю. Ф. Принцип Дирихле [Текст] / Ю. Ф. Фоминых // Математика в школе. – 1196. – № 3.

33. Школьные олимпиады. Международные математические олимпиады [Текст] / Сост. А. А. Фомин, Г. М. Кузнецова. – 3-е изд., стереотип. – М. : Дрофа, 2001. – 160 с. : ил.